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    Revista Lindaraja. Revista de estudios interdisciplinares  ISSN:  1698 - 2169

Realidad y ficción

     

Revista Lindaraja

 

Número 1, junio de 2004

 

Lógica y Argumentación

 

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Lógica y Argumentación

 

   
  

PARADOJAS:

EL DISCURSO CON SAL Y PIMIENTA

 

Luis Vega Reñón

Catedrático de Lógica de la UNED

 

lvega@fsof.uned.es

 

 

 

Las paradojas se mueven entre la sorpresa y el sobresalto; son anomalías inesperadas que nos pueden salir al paso en muy diversos lugares y de muy diversas formas. Hay paradojas vitales, visuales, conceptuales, filosóficas, científicas, literarias, discursivas ... Pues bien, les propongo entrar en tratos con las paradojas discursivas, las que envuelven de manera tácita o expresa alguna suerte de razones y argumentos. Así que, después de algunos rodeos por diversos ejemplos y opiniones, intentaré presentarles -en el § 4- las paradojas discursivas de una manera que considero correcta. Pero, en fin, no me gustaría terminar esta presentación sin declararles una verdad rotunda: alguna de las afirmaciones que hago aquí es falsa. Piensen un momento en esta declaración y reconocerán que lógicamente, al margen de mis deseos de acertar y decir la verdad, no puede ocurrir otra cosa. (Por cierto, es la llamada “la paradoja del prólogo”)

 

 

 

§ 0.  Ah, ¿pero hay paradojas genuinas?

  

«En lógica no puede haber nunca sorpresas» Tractatus Logico-Philosophicus, 6.1251

«En lógica, proceso y resultado son equivalentes. (En consecuencia, no hay ninguna

  sorpresa.)» Ibd., 6.1261 

Uds. recordarán las ilusiones que se hacía el joven Wittgenstein cuando, por la época del Tractatus, creía haber resuelto las cuestiones filosóficas que se había planteado.

Bueno, pues una vez, durante la celebración del IV Congreso Internacional de Filosofía, se presentó en una sesión plenaria el Espíritu del Tractatus, tomó posesión del atril y del micrófono, y dijo a los asombrados asistentes: “Podéis hacerme una pregunta, la que queráis, pero solo una; y yo os daré una respuesta verdadera y correcta a esa pregunta. ¿Qué vais a preguntarme?” Los filósofos, muy excitados, empezaron a discutir cuál podía ser la pregunta mejor o la más conveniente o -insistió alguno- la más significativa. Esta última consideración descartó algunas sugerencias iniciales del estilo de:

P0  “En la presente coyuntura bursátil, ¿es mejor un fondo FIAMM que un plan de pensiones?”.

Pero los filósofos no conseguían ponerse de acuerdo sobre cuál era la cuestión más trascendental y, sin este paso previo, no podían estar seguros de aprovechar cabalmente la ocasión que el gentil oráculo les brindaba. A alguien se le ocurrió una pregunta doble y capaz de cubrir los dos flancos abiertos:

P1   “Cuál es la mejor cuestión que podemos plantearte y qué nos responderías”.

 

Pero P1 violaba la condición impuesta por el Espíritu: una sola pregunta. Hubo quien propuso entonces limitarse al primer interrogante de P1, con la secreta esperanza de que, una vez conocida la cuestión capital, la comunidad filosófica se concentrara en la búsqueda de solución. Ahora bien, como la comunidad de los filósofos, en general -al margen de las ilusiones de algunos individuos-, no se fía mucho de su propia capacidad resolutiva, y como los congresistas se temían, además, que no tendrían otra oportunidad de convocar de nuevo al Espíritu para conocer la Solución una vez conocida la Pregunta, todo el mundo siguió considerando y debatiendo diversas alternativas. Así fue poco a poco atrayendo la atención una pregunta más sutil y compleja del tipo de:

 

            P2  “Cuál es la respuesta a la cuestión que fuera la mejor que podríamos plantearte”,

 

con la intención de que toda la información buscada viniera incluida en la respuesta. Pero no faltó quien reparara en la posibilidad de recibir contestaciones del tenor de “La respuesta es ” o “La respuesta es No”, poco informativas mientras no se supiera justamente a qué respondían. Al fin, un joven lógico dio con una formulación que acabó por granjearse la gratitud y el aplauso del pleno del Congreso. Su interrogante rezaba:

 

            P3  “Cuál es el par ordenado cuyo primer miembro es la mejor pregunta que podríamos hacer y cuyo segundo miembro es la respuesta a esta pregunta”.

 

            Casi todo el mundo -y eso que eran filósofos- convino en que se trataba de una fórmula hábil para obtener la información pertinente no sólo sobre la gran Pregunta, sino sobre la gran Respuesta. Tras una breve deliberación, los notables del Comité Académico del Congreso se levantaron de sus asientos y el Presidente, seguro de la trascendencia del momento, formuló con voz grave y solemne la pregunta P3 al Espíritu del Tractatus. El Espíritu -más bien impasible, la verdad- se limitó a contestar:

 

            R  “Es el par ordenado cuyo primer miembro es la pregunta que precisamente acabáis de hacerme y cuyo segundo miembro es la respuesta que os estoy dando”.

 

Luego, tras un leve saludo, se desvaneció en el aire, mientras los filósofos se miraban unos a otros perplejos y desolados. ¡La gran ocasión de sus vidas! Más aún: ¡¡la gran ocasión de un filósofo en toda la historia de la filosofía!! Y sólo habían sacado en limpio una respuesta inservible (A fin de cuentas, ¿no habría sido mejor la pregunta inicial sobre la inversión de unos ahorrillos?)

Sin embargo, puede que alguna ventaja tenga el formar parte de una profesión tan  castigada como impenitente: lo cierto es que los filósofos clausuraron el Congreso con el firme propósito de dedicar el siguiente evento a la discusión de las paradojas, al tiempo que encargaban al joven lógico responsable de P3 una ponencia acerca de qué es lo que había ido mal, dónde había estado el fallo. Por lo demás, estos planes de trabajo de los filósofos -en particular, el reconocimiento de genuinas paradojas- les suponían despedirse para siempre del Espíritu del Tractatus.

 

Por mi parte, les confieso que estuve a punto de asistir a ese infausto IV Congreso de Filosofía y, desde luego, prometo no perderme el próximo: puede que se presente algún otro Espíritu. (¿El de las Investigaciones filosóficas? Quizás. No se sabe: son muchos los espíritus wittgensteinianos que hoy andan por ahí en danza). Mientras tanto, les invito a tratar con las paradojas a partir de la suposición directriz de los planes de los filósofos: hay efectivamente paradojas genuinas, no meros acertijos. Así pues, a pesar de las sentencias del Tractatus citadas al principio (6.1251, 6.1261), creo que hay sorpresas, incluso en lógica, y que las paradojas se dan en muy diversos campos del discurso común, de la teorización científica y de la filosofía. Más aún, me parece que su existencia puede ser buena, saludable y digna de atención, lejos de quienes piensan que la mayoría de las llamadas “paradojas” no pasan de ser paralogismos (cf., por ejemplo, Andrew McMillan en http://www.paradoxes.info, “Paradox or Fallacy”).

           

 

 

§ 1. Paradojas y demás familia (antinomias, aporías, perplejidades)

 

Nuestros términos paradoja, paradojo, paradójico provienen del étimo griego parádoxon (≈ cosa chocante, singular o sorprendente). Hoy tienen un doble sentido, uno retórico y otro dialéctico, que vienen a corresponder a dos matices significativos del prefijo ‘para-’: un matiz de énfasis o refuerzo, un matiz de oposición.

 

1. En un sentido retórico, una paradoja es una expresión aparentemente anómala, retorcida  o absurda, dirigida a llamar la atención sobre lo que quiere significar. Se ha dicho que una paradoja en este sentido es una verdad puesta patas arriba para llamar la atención. Puede responder a varios y diversos propósitos: (a) desvelar o comunicar un mensaje sentido o profundo; (b) tener de paso una intención irónica; (c) ser un recurso instructivo; (d) bajo una forma un tanto provocativa; (e) dar una muestra de ingenio, etc.

 

Un ejemplo en la línea de (a) sería la barroca confidencia teresiana «Vivo sin vivir en mí, y tan alta vida espero que muero porque no muero».

En la línea de (b) se movería a su vez el sumario mandamiento final de la Animal Farm: «Todos los animales son iguales, pero algunos animales son más iguales que otros» (G. Orwell 1945, Rebelión en la granja).

Del caso (c) podría dar una idea el lema pseudocrático «Sólo sé que no sé nada».

La variante (d) estaría representada por preguntas como la del matemático John Allen Paulos a sus alumnos: “¿A qué velocidad, expresada en km./h., crece el cabello humano?”.

           Una respuesta corriente es la protesta o el reparo de algún alumno aventajado:

           “-Pero, Prof. Paulos. ¡Eso no se mide en términos de kilómetros / hora!”.

           Lo cual da pie al profesor no sólo para dar la solución precisa y apropiada:

           “-¡Cómo que no! Crece a razón de unos 1,6 ×10-8 kms. por hora”,

sino para lamentar el analfabetismo matemático de su entorno.

 

A estos usos retóricos de las expresiones más o menos paradójicas y llamativas cabría añadir en la línea (e) otras muchas muestras de agudeza o de ingenio, etc., un género en el que ha brillado no sólo el barroquismo hispano de todos los tiempos -desde Gracián hasta Borges, pongamos por caso-, sino otra gente ilustre como Lewis Carroll, Oscar Wilde, Bernard Shaw o Grucho Marx -recordemos su supuesto telegrama: «Please accept my resignation. I don’t want to belong to any club that will accept me as a member»-.  

 

2. En un sentido dialéctico, una paradoja es una aserción opuesta al sentir común sea expresamente o sea por implicación. Es decir: una proposición contraria a la opinión mayoritaria o establecida -a veces con visos de ser un contrasentido-, o una proposición aparentemente plausible o razonable cuyas consecuencias muestran que no lo es.

 

            Unos vecinos nos están contando sus penalidades del pasado verano.

          “-Un desastre. Cuando llegamos, todos los hoteles estaban llenos, con todas las habitaciones ocupadas: ya no cabía en ellos ni un alfiler.

          - Bueno -interrumpe otro vecino matemático-, deberíais haber probado en el Hotel de Hilbert. Es un hotel con infinitas habitaciones de modo que, aun estando completamente lleno y con todas las habitaciones ocupadas, siempre cabe un arreglo para habilitar una nueva y meter a alguien más”.

        ¿Puede haber un hotel como el Hotel de Hilbert? ¿No es su misma descripción un contrasentido?

         También es una opinión muy común que las reglas (sociales), a diferencia de las leyes (naturales), mantienen su vigencia aunque no se cumplan siempre: las reglas admiten incumplimientos o excepciones. Más aún, según un tópico muy extendido, no hay regla sin excepción; norma general que conviene tener bien presente a la hora de proponer una regulación. Valga, pues, como regla de las regulaciones o regla madre:

          R (madre): «No hay regla sin excepción».

         ¿Es R tan razonable como parece? ¿Es una norma que, lógicamente, se podría adoptar y seguir?

           Por lo regular, ambos sentidos, el retórico y el dialéctico, son cómplices y están relacionados entre sí, de manera que al contrasentido, real o aparente, no le falte su punto de intriga y de provocación y la paradoja resulte un desafío a nuestro sentido común.

         No sé si conocen el reloj de pared de Cronopio, un viejo amigo. El otro día estábamos tomando el aperitivo en su casa y la conversación se nos alargó hasta que, de pronto, sonaron tres campanadas en el reloj de pared. “¡Las tres! -salté-. ¡Ya son las tres! Tengo que irme: había quedado a comer con Filomena a las dos y media, y se me ha hecho tarde”. “No te preocupes -repuso tranquilamente Cronopio-. Mi reloj es especial: no ha dado las tres, sino tres veces la una. Aún te sobra tiempo”.

           Una cuestión paradójica añadida es cómo saber, al oír las campanadas de cualquier otro reloj -e.g. el del Ayuntamiento por el que se rige Filomena-, si se trata de un reloj especial o es de los corrientes.

 

Con este sentido guarda relación el término antinomia. También se deriva de un étimo griego: antinómon  (≈  algo que contraviene o es contrario a la norma), que a suvez procede de medios jurídicos; en algunos autores  y contextos, e.g. en Quintiliano, lo antinómico se agudiza al implicar un conflicto entre las propias normas. Una antinomia se considera, por lo regular, una anomalía discursiva más grave que una paradoja simple en la medida en que envuelve una contradicción insalvable o un conflicto insoluble; la lógica medieval hablaba de casos insolubles (insolubilia) en este sentido. Luego, a partir de la referencia de Kant a las “antinomias” de la razón pura, se incluyeron las contradicciones reales o aparentes entre dos asertos o dos conclusiones, una tesis y una antítesis, que tenían una justificación pareja. Y, por último, entre finales del s. XIX y principios del s. XX, las antinomias adquirieron carta de naturaleza en medios lógicos y matemáticos, gracias a ejemplares tan famosos como la antinomia semántica del mentiroso, o como las antinomias lógico-matemáticas de la teoría intuitiva de conjuntos.

 

De la paradoja [antinomia] semántica del mentiroso conocemos una versión antigua bajo el nombre de Epiménides, un cretense. En él pensaba Pablo de Tarso cuando escribía a propósito de los cretenses: «Bien dijo uno de ellos, su propio profeta: “Los cretenses, siempre embusteros, malas bestias y glotones”. Verdadero es tal testimonio» (Epist. a Tito, 1,12). Pablo, mejor apóstol que lógico, no cayó en la cuenta de lo enrevesado de tal testimonio: si verdadero, falso; si falso, verdadero. Una versión aún más antigua y directa se atribuye al dialéctico Eubúlides, discípulo de Euclides de Megara en el s. IV a.n.e. Reza: «El hombre que dice: “lo que estoy diciendo es falso”, al decir esto ¿miente o dice la verdad?».

 

Por lo que concierne a las antinomias lógico-matemáticas que cercaban las nociones intuitivas de clase o de conjunto, baste recordar la más famosa: la paradoja [antinomia] de Russell. Supongamos que a cada propiedad (condición, predicado) le corresponde una determinada clase o conjunto: la clase de las cosas que tienen esa propiedad (cumplen esa condición, satisfacen ese predicado). Pues bien, hay predicados o condiciones anormales en el sentido de que las clases correspondientes son miembros de sí mismas, como la clase correspondiente al predicado ‘x es pensable’: ahora estoy pensando en la clase de todo lo pensable, luego esta clase es ella misma pensable. Por fortuna hay también predicados o condiciones normales, de modo que las clases correspondientes no son miembros de sí mismas, como el predicado ‘x es asturiano’: la verdad es que, por mucho que se empeñe, la clase de los asturianos no es una asturiana. Consideremos ahora una presunta clase: la clase de todas las clases correspondientes al predicado o la condición ‘x no es miembro de sí misma’ o, en otras palabras, la clase de todas las clases normales. Es decir, la clase: w  =  {x ׀ x Ï x}.

 ¿Es esta clase w, a su vez, miembro de sí misma?

¿Sí? Pero si w Î w, entonces w no cumple la condición dada, luego w  Ï w.

¿No? Pero si w  Ï w, entonces w cumple la condición dada, luego  w Î w.

En otras palabras, la clase de todas las clases normales resulta normal si es anormal; anormal, si es normal.

Sorpresas de este tipo llevaron a los lógicos matemáticos de las primeras décadas del s. XX a dejar de suponer que cualquier predicado determina la existencia de la clase o del conjunto correspondiente y a desconfiar de las clases o conjuntos irrestrictos (“la clase de todas las clases ...”, “el conjunto de todos los conjuntos ...”). Para algunos espectadores posteriores la experiencia fue tan traumática que dieron en pensar en una crisis de fundamentos del edificio de las matemáticas.

 

Nuestro término aporía es un calco de otro griego: aporía ( ≈  situación apurada o difícil por falta de una vía de salida, cuestión indecidible). El término tiene una raigambre filosófica debida a la investigación dialéctica aristotélica de ciertas nociones y principios en la filosofía natural y en la ética: un propósito de esta investigación era el respeto a las opiniones autorizadas o acreditadas sobre un asunto capital que salvara al mismo tiempo las dificultades o aporías subyacentes. El proceder crítico y ponderativo aristotélico todavía se refleja en un uso principal de aporía para designar el caso planteado por la concurrencia de argumentos parejamente correctos y fuertes con conclusiones opuestas o incompatibles entre sí.

 

Aulo Gelio y Diógenes Laercio nos has transmitido una aporía dilemática fundada en la causa de Protágoras versus Euatlo. El sofista Protágoras había acordado con su discípulo Euatlo enseñarle las artes del discurso forense por una cantidad que Euatlo debería abonar en cuanto ganara su primer juicio. Acabado el curso, empezó a pasar el tiempo sin que Euatlo mostrara el menor interés por ejercer sus artes y habilidades en ningún juicio. Protágoras, al fin, se impacientó -debía algún dinero a su proveedor de higos-. Entonces citó en su casa a Euatlo y amenazó con encausarle en estos términos: «Voy a llevarte a juicio por no pagarme las enseñanzas que has recibido. Si gano, tendrás que pagarme conforme al veredicto. Y si pierdo, será la primera causa que ganes, así que también deberás pagarme según lo convenido». Euatlo, discípulo tan aprovechado como tranquilo, se limitó a redargüir: «Tú verás. Si pierdo el caso, no tendré que pagarte porque aún no habré ganado ninguna causa, según lo convenido. Y si gano, tampoco tendré que pagarte conforme al veredicto». ¿Quién tiene razón? ¿Cómo salir del paso? Según Leibniz, la solución reside en un segundo juicio emprendido por Protágoras a resultas del primero. Por otro lado, la jurisprudencia moderna cuenta con ciertos recursos para solventar la cuestión: una corte anglosajona se pronunciaría a favor de Euatlo mientras Protágoras no lograra establecer su caso de modo inequívoco o introdujera  elementos nuevos de juicio, como el haber sido engañado inicialmente por Euatlo con un acuerdo doloso.

 

Las aporías consideradas por Kant bajo la denominación de “antinomias” de la razón pura, -por ejemplo, el conflicto entre la tesis de la finitud espacio-temporal del universo y la antítesis de su infinitud-, son más imprecisas y más inciertas.

 

Ulteriormente la calificación “aporético(a)” se aplica, en general, a situaciones comprometidas o insalvables a las que nos vemos abocados en virtud de unos supuestos  indebidos o de unas condiciones inviables.

 

Un ejemplo podría ser el caso xvii de los Sophismata de Jean Buridan, lógico y filósofo natural, rector de la Sorbona y, al parecer, amante de la Reina en el París del s. XIV. El caso consiste en lo siguiente. Sócrates llega a un puente guardado por un poderoso caballero, Platón, y le pide autorización para cruzarlo. Platón declara: «Juro que si lo que vas a decir a continuación es verdadero, te dejaré cruzar; pero si es falso, te echaré al agua. Habla, pues». Sócrates dice: «Vale. Me echarás al agua». Si Platón le deja pasar y no le echa al agua, lo dicho por Sócrates resulta falso, así que Sócrates debería ser arrojado al agua; pero si Platón le echa al agua, lo dicho por Sócrates resulta verdadero, así que debería permitir a Sócrates pasar.

La solución de Buridan es sabia y elegante: sentencia que el juramento de Platón no le compromete a nada pues implica un compromiso imposible de cumplir. Con el tiempo, esta aporía del puente se fue haciendo más dramática mientras los jueces llamados a dirimir el asunto iban perdiendo sagacidad. Hasta que nos encontramos con el caso propuesto al flamante gobernador de la ínsula Barataria en el cap. LI de la segunda parte del Quijote, historia digna de leer. De ahí ha pasado al canon de las paradojas universal.

 

Nuestro término perplejo deriva, en fin, del latino perplexum  (≈ algo muy [per-] intrincado, plegado, o algo completamente enredado, confuso). Esta condición da lugar por una suerte de transferencia causa → efecto a un estado de perplejidad, a no saber a qué atenerse o cómo salir del paso, estado también relacionado con ciertas situaciones aporéticas, como acabamos de ver. Es frecuente que uno no sepa salir de una situación que, lógicamente, no tiene salida.

 

Cabe pensar que la respuesta de Sócrates dejaría a Platón perplejo, al igual que los jueces del caso propuesto a Sancho Panza se habían quedado sumidos en la perplejidad, “dudosos y suspensos” -según informa a Sancho el encargado de trasladarle el caso a su corte de justicia en Barataria-.

 

En los antiguos tiempos griegos, un estado de perplejidad, como el provocado por el argumento “más incisivo” al decir de Aristóteles -el argumento que de unas premisas plausibles deriva una conclusión sumamente implausible-, no era sino un buen motivo y un acicate para proseguir la investigación del asunto planteado: “hay algo que anda mal y necesita solución o arreglo”. En nuestro tiempo, se ha dado en afirmar que los problemas filosóficos pueden reducirse a situaciones del tipo “no sé por dónde me ando”, a estados de perplejidad y, si acaso, de ansiedad: males que se curan disolviendo el enredo o, según algún experto, “ayudando a la mosca a salir de la botella”. A partir de ahí ha cundido la especie de que la filosofía tiene mucho que ver con la perplejidad y no pocos filósofos han puesto en las perplejidades todas sus complacencias -como el encadenado que hacía el amor con la cadena-. Cosa que, por cierto, maravilla y causa perplejidad. Quedémonos, sin embargo, con la copla de que la perplejidad puede ser una reacción perfectamente natural (no una suerte de afección o afectación profesional) ante una aporía o una paradoja, sin que ese estado de ánimo le confiera mayor significación o trascendencia.

 

 

 

§ 2.  Sobre lo paradójico, en general

 

Lo paradójico es algo sorprendente e insólito, pero que además nos intriga por envolver cierta significación o cierto interés bajo la forma o la apariencia de un contrasentido. Lo paradójico constituye un desafío a nuestro sentido común, a los modos establecidos de ver o entender las cosas.

 

Este carácter desafiante aproxima las paradojas a los enigmas y los acertijos. Cabe pensar incluso que toda paradoja tiene algo de enigma en la medida en que encierra un sentido oculto; pero no todo enigma ha de presentarse en términos paradójicos. Por otra parte, a diferencia de los enigmas y a semejanza con los acertijos, se supone que el significado de las paradojas es accesible o comprensible, y que todas ellas son solubles positiva o negativamente, es decir por resolución de la cuestión que plantean, o por disolución del planteamiento mismo cuando la cuestión resulta intratable o indecidible. Cierto es que esta suposición no se ha visto siempre acompañada por el éxito resolutivo o disolutivo: hay paradojas muy obstinadas. Pero, en cualquier caso, las paradojas también se distinguen de los rompecabezas o de los meros acertijos, como los desafíos a la razón o al sentido común se distinguen de los retos al ingenio.

 

         Hesíodo y Sófocles cuentan, siglos antes de nuestra era, que Edipo se topó al entrar en Tebas con una esfinge que le propuso esta cuestión: «¿Cuál es el animal que por la mañana se mueve a cuatro patas, al mediodía a dos y al anochecer a tres?». La pregunta puede parecer intrigante y curiosa, pero no se plantea en términos incongruentes o indecidibles. Si uno le atribuye una significación profunda, pensará estar ante un enigma, y si uno la considera una prueba de ingenio, ante un acertijo. Pero en ningún caso creerá hallarse ante una paradoja. Las paradojas son productos más complejos y elaborados: las paradojas envuelven de manera tácita o expresa problemas conceptuales y marcos argumentativos. Las paradojas no hablan a la agudeza o al ingenio, sino al entendimiento y la razón.  

        Así que, en suma, una diferencia de los acertijos con respecto a las paradojas es tener asegurada la existencia de una respuesta acertada -y dar con ella no es tanto cuestión de sabiduría como de ingenio-; mientras que los enigmas, a su vez, tenderían al extremo opuesto.

        Imagine que en uno de sus viajes por el ancho mundo Ud se encuentra con tres indígenas de una misma tribu: Pa, Pe, Po. Lo único que Ud. sabe de esa tribu es que su lengua es incomprensible y que sus miembros se dividen en dos sectas: la de los que siempre dicen la verdad y la de los que siempre mienten.

          Ud. se dirige a Pa y le pregunta a qué secta pertenece. Pa le contesta en su propia lengua algo que le resulta ininteligible. Por fortuna, Pe parece más amable y media como intérprete: “Pa le ha dicho que es de los mentirosos”. Entonces Po le coge a Ud. del brazo y tercia para corregir a Pe: “No crea Ud. a Pe, él sí que miente”. Pues bien, ¿qué puede sacar Ud. en limpio? ¿Quién es de los veraces y quién es de los mentirosos?

          La secta a la que pertenece Pa es un enigma: seguirá siendo un misterio. En cambio, tanto la secta de Pe, como la de Po, no pasan de ser un acertijo. Pruebe y verá que no es difícil adivinarlas.

           Sin embargo, en esta historia no hay ninguna paradoja -que se sepa, al menos-.

        Al margen de esta especie de pseudoparadojas, los enigmas y los acertijos, hoy se habla de situaciones paradójicas, objetos o personajes paradójicos, cuentos paradójicos, cuadros y figuras paradójicas.  Hay compilaciones de paradojas discursivas, mentales y visuales. En suma, las paradojas pueden darse en muy diversos campos y de muy distintas formas, aunque su hábitat natural sea el discurso. En literatura, los relatos paradójicos -no meros acertijos-, se remontan al parecer a un cuento chino de Chuang-tzu (s. IV a.n.e.): Chuang-tzu fue el hombre que una vez soñó que era una mariposa y luego se despertó preguntándose si no sería una mariposa soñando que era un hombre. Las muestras gráficas y pictóricas parecen, en cambio, mucho más modernas: hoy son famosos los cuadros del belga Magritte y los dibujos y composiciones de Escher, holandés errante durante buena parte de su vida, a quien debemos varias representaciones “imposibles”. Tampoco son muchos los años de objetos paradójicos como los triángulos y las escaleras de Penrose o como los números interesantes.

 

En cierta ocasión, el conocido matemático de Cambridge, G.H. Hardy, visitaba a su protegido indio Ramanujan, un genio del cálculo, convaleciente en una clínica. Para reiniciar tras unos minutos de silencio la conversación, Hardy comentó que el número del taxi que le había traído era bastante soso e irrelevante: el 1729. “No crea, Hardy -replicó Ramanujan-. Es un número singular. Es el número más pequeño que cabe expresar de dos formas distintas como la suma de dos cubos (13 + 123 = 103 + 93 = 1729)”.

Esta línea de razonamiento puede generalizarse hasta el punto de que todos los números resultan singulares e interesantes. Supongamos que no es así. Sea entonces  n el primer número que, al parecer, no tiene nada de particular. Pero esta peculiaridad lo distinguiría de cualquier otro. Luego n también sería un número singular e interesante.

 

Más reciente aún ha sido la proclamación del paradoxismo como un movimiento cultural, ideológico y artístico, nacido en la Rumanía de los años 80, con aires de rebelarse contra casi todo: contra los movimientos de vanguardia (surrealismo, dadaísmo) que había conocido el siglo y, naturalmente, contra la cultura cerrada e irrespirable de la época de Ceaucescu. Su manifiesto fundacional data de la publicación de F. Samarandache, Le sens du non-sens, Fez, Éditions Artistiques, 1983. El paradoxismo se caracterizaría en pocas palabras como sigue. «Todo tiene un sentido y un sinsentido armónicos entre sí», según su tesis básica. De ahí se desprende que (a) el sentido tiene un sinsentido y que, parejamente, (b) el sinsentido tiene un sentido. Según su lema: «todo es posible, incluso lo imposible». Y en fin, como no podía ser menos en los tiempos que corren -tiempos de confusiones e imposturas intelectuales-, el paradoxismo también pretende hallar aplicación en la ciencia.

 

            La verdad es que el análisis lógico y la investigación científica y filosófica no han necesitado estímulos, ni esperado proclamas de este género, para habérselas con paradojas de muy diverso tipo y condición. Lo cierto es que, desde antiguo, las paradojas han venido prestando servicios importantes tanto a efectos críticos, como a efectos heurísticos, en ámbitos tan dispares como la cosmología y la semántica, pasando por distintos campos de la filosofía y de las ciencias naturales y sociales. Allá por el s. V a.n.e., el presunto padre de la dialéctica, Zenón de Elea, ya empezaba a ejercitar el poder crítico de las paradojas y aporías contra algunos supuestos de los antiguos pitagóricos. Desde entonces, las aporías de Zenón forman parte del canon de las anomalías discursivas en filosofía. En lo que sigue, vamos a interesarnos ante todo por las anomalías de este género, por las paradojas discursivas, con cierta significación lógica o conceptual, teórica o filosófica.

 

 

 

 § 3. Sobre las paradojas, en particular

 

Propongo considerar las paradojas como unas anomalías discursivas que, en primer lugar, constituyen provocaciones serias e interesantes a algunas de nuestras ideas o creencias; en segundo lugar, siendo discursivas, tienen interés y sentido en el contexto tácito o expreso de una argumentación; en tercer lugar, al desafiar nuestras ideas o creencias, también se mueven en un marco histórico e ideológico que no conviene olvidar.

 

1/ Las paradojas son provocaciones serias e interesantes por sus consecuencias críticas o heurísticas, sean analíticas -cuando importa más su condición de anomalía en el uso del lenguaje discursivo-, o sean sustantivas -cuando importa más su carácter de reto a las ideas o las creencias establecidas-.

 

         De su potencial crítico pueden ser muestra las clásicas paradojas de Zenón de Elea contra ciertas concepciones del tiempo o del espacio envueltas en la visión común y ordinaria del movimiento. Esas ideas del cambio y de la multiplicidad implican determinados absurdos: implican que lo que hay resulta a la vez indefinidamente grande e indefinidamente pequeño (cf. 29 B 1), o que lo que se mueve permanece estático al estar ocupando siempre un espacio igual a sí mismo (cf. 29 A 27). Estos argumentos son reducciones a un absurdo conceptual, a presuntos contrasentidos, antes que a un absurdo lógico, a contradicciones expresas.

           Su potencial heurístico puede mostrarse, a su vez, en su contribución a investigaciones de diverso género. Por ejemplo, investigaciones conceptuales como las que se han ocupado del concepto matemático de infinito -cuyo estudio a través de paradojas se remonta a casos como el de Galileo, si no anteriores; sobre el caso de Galileo, cf. más abajo,  § 4 (1)-; o investigaciones quizás más sustantivas, como las propiciadas por ciertas paradojas en física cuántica, o en ciencias sociales y en teorías de la decisión y de la acción; y, en fin, investigaciones analíticas, como la que llevó a Tarski, por el camino -entre otros- de la paradoja del mentiroso, a la concepción semántica clásica de la verdad.

            En ocasiones ambas dimensiones, la crítica y la heurística, vienen conjugadas. Es entonces cuando las paradojas desarrollan todo su poder y pueden contribuir incluso a una conmoción histórica en un área de conocimientos. Recordemos la llamada “crisis de fundamentos” matemáticos, provocada -según algunos- por las paradojas lógicas y matemáticas que amenazaban con minar, a principios del s. XX, los inicios de la teoría de conjuntos. En cualquier caso, lo cierto es que las paradojas han desempeñado un papel sustancial en la promoción y el desarrollo de ciertos puntos conceptuales o analíticos, como el concepto de infinito en matemáticas o el de reflexividad o auto-referencia en lógica y semántica.

             Con todo y aun siendo provocaciones serias e importantes, no creo que el gusto por las paradojas sea el camino de la liberación de los grilletes del lenguaje y la razón, la vía de la iluminación interior, según pretenden algunos koan Zen (e.g. “¿Cuál es el sonido de la palmada de una sola mano?”), o algunos otros enigmas más o menos sacros (e.g. ¿cuál es -entre los fang de Mbini- el nombre de Dios?).

  

2/ Las posibles virtudes -e incluso algunos posibles vicios- de las paradojas como anomalías discursivas serían inexplicables sin su contextualización o su reconstrucción argumentativa. Las paradojas forman parte de una argumentación tácita o expresa, o se fundan en ella. Y la comprensión de su significado, más allá de su contrasentido real o aparente, supone la consideración y el análisis de la argumentación subyacente.

Luego veremos una estrategia de resolución o de reducción de tales anomalías relacionada con este supuesto: el sentido de una paradoja reside en un argumento.

De momento, bastarán estas indicaciones para ponernos en guardia ante la imagen equívoca de las paradojas que se desprende de los catálogos o los inventarios al uso: ahí aparecen como especímenes dados, aislados y curiosos, que a lo sumo se prestan a una clasificación como las muestras de un naturalista o los ejemplares de un entomólogo. En este respecto, las paradojas suelen correr la suerte de las falacias: una suerte -mala suerte- más afín a sus efectos retóricos que a sus contribuciones analíticas o sustantivas.

 

3/ Por último, tampoco estará de más considerar el marco socio-histórico o cultural de las paradojas más fecundas -como, e.g., las ya mencionadas en relación con la “crisis de fundamentos” en matemáticas o con la “semántica científica” en análisis lógico-. A esta luz, una paradoja viene a ser: 

o bien (a) un resultado anómalo o inesperado que se infiere correctamente -al

menos, en principio- de ciertos supuestos conceptuales o teóricos presuntamente

obvios o establecidos, de modo que supone:

(i)  un conjunto de asunciones o creencias de una comunidad epistémica;

(ii)  ciertas expectativas asociadas o fácilmente derivables de ellas;

(iii)  el reconocimiento de la aparición de una anomalía que contraviene alguna de esas asunciones o creencias (i), o expectativas (ii);

o bien (b) una situación anómala o inesperada en la que se desemboca a partir de unos supuestos o unos usos discursivos que se consideran -al menos en principio- razonables.

 

            Con respecto a las creencias y expectativas que forman parte de la “mentalidad” o de la cultura de una época, merece la pena evocar uno de los primeros usos del término en inglés (paradox), recogido por el Oxford English Dictionary. Se trata de la definición dada por el Chapbook de Bullokar y dice: «Paradoja, una opinión mantenida contra la opinión comúnmente admitida, como si uno afirma que la tierra se mueve dando vueltas y los cielos están quietos». Y por lo que concierne a las situaciones o los trances inesperados, son campos abonados los de la teoría de la decisión, o de la acción colectiva,  o de las aplicaciones de la teoría de juegos en ciencias sociales.

  

 

 

 § 4.  Pero, a fin de cuentas, ¿qué son las paradojas y cómo tratar con ellas?

 

Bueno, hay muchas opiniones al respecto y no todas coinciden. Veamos las nociones de paradoja que hoy podrían considerarse más extendidas o de mayor interés.

 

* Según N. Falleta (1986, The Paradoxicon, p. xviii; hay traducción española: Paradojas y juegos, Barcelona, Gedisa, 1993), una paradoja puede ser alguna de estas tres cosas:

«(1) un enunciado que se presenta como contradictorio, pero de hecho es verdadero; (2) un enunciado que se presenta como verdadero, aunque de hecho envuelve una contradicción; (3) un argumento válido o correcto que lleva a conclusiones contradictorias.»

El caso (1) haría recordar las llamadas por Quine “paradojas verídicas”, mientras que el caso (2) correspondería a las que llama “paradojas falsídicas”.

 

* * Según R.M. Sainsbury (Paradoxes, Cambridge, Cambridge University Press, 1987, 19952; Introd., p. 1), una paradoja es una conclusión aparentemente inaceptable derivada de premisas aparentemente aceptables por un razonamiento aparentemente aceptable. Como lo aceptable no puede llevar por pasos aceptables a lo inaceptable, aquí hay algo que anda mal sea en las premisas, sea en el razonamiento.

            Una ventaja de este planteamiento consiste en hacer expresos tanto el contexto argumentativo, como el carácter discursivo de las paradojas. Quizás sea un mérito añadido  considerar que la “paradojicidad” -digamos- es una condición gradual, dependiente de la manera como las apariencias enmascaran la realidad, aunque esta relación entre aparencias y realidad no deje de ser muy imprecisa. Según eso, cabría pensar en una escala de 1 a 10, donde el nivel 1 sería el de las paradojas más suaves o menos relevantes, mientras que en el 10 se situarían las conmociones teóricas o los cataclismos ideológicos.  

Los ejemplos de Sainsbury son: para el nivel 1, el caso del barbero de una remota aldea siciliana que afeita a todos los habitantes de la aldea que no se afeitan a sí mismos, pero sólo a ellos; y para el nivel 10, el caso del mentiroso. Lo que resulta del primer caso es la imposibilidad de que exista un barbero con arreglo a la condición estipulada. Lo que ha resultado en el segundo caso ha sido una investigación todavía en curso sobre determinados aspectos y supuestos del análisis lógico-semántico. 

            Si aceptáramos la idea de la escala, quizás pudiéramos asignar un nivel medio, 5, a una paradoja que empezó siendo una muestra relativamente trivial de ciertos usos vagos e imprecisos, como el uso habitual de los términos ‘montón’ o ‘calvo’, para convertirse con el tiempo en un caso paradigmático dentro del análisis lógico borroso. Veamos: se supone que una cantidad de 10.000 granos de trigo es un montón de trigo. También es bien sabido que si de un montón de trigo se quita un grano, sigue habiendo un montón. Así que, en general, para cualquier número n de granos (n > 1), si n granos de trigo son un montón, n-1 granos siguen siendo un montón. Luego, en definitiva, donde sólo quede un grano, habrá un montón

 

*** Según N. Rescher (Paradoxes. Their roots, range, and resolution, Chicago y La Salle, Open Court, 2001; c. 1, “Aporetics”), las paradojas no son simples proposiciones -no son conclusiones, en particular-, sino conjuntos de proposiciones. En esta perspectiva, una paradoja consiste en una serie de proposiciones tales que cada una de ellas es plausible en sí misma o tomada individualmente, pero en conjunto resultan inconsistentes. Ahora bien, no es fácil dar una explicación comprensiva y unitaria de las paradojas conocidas -y de hecho el propio Rescher despliega una clasificación temática de paradojas semánticas, matemáticas, físicas y filosóficas, y estudia los supuestos que obran en grupos de ellas-. También distingue niveles de paradojicidad, aunque relacione estos niveles no con grados de dificultad sino con modalidades de disolución o resolución.

Por lo demás, las paradojas no son producto de un error de razonamiento: esto sería más bien una falacia. Son producto de una disonancia de asunciones o de compromisos. Pese a este punto de vista que se diría pragmático, los diagnósticos y análisis practicados por Rescher sobre ciertos grupos seleccionados de paradojas no se salen de la tradición del análisis lógico-metodológico.

 

**** Cabría añadir, por último, el reciente R. Sorensen (A brief history of paradox. Philosophy and the labyrinths of mind, Oxford, Oxford University Press, 2003), aunque sus preocupaciones y méritos tengan más que ver con sus propósitos enciclopédicos que con sus conceptos o instrumentos analíticos. La verdad es que no se limita a considerar paradojas discursivas, proposiciones o argumentos, so que también hace referencias ocasionales a objetos paradójicas, paradojas visuales. No obstante, tiene la peculiaridad de sostener la existencia de paradojas objetivas -como lo son, a su juicio, los insolubilia medievales-, al margen de referencias pragmáticas a unas asunciones o unas expectativas.

Su utilidad reside en su calidad de muestrario histórico filosófico. Aunque no por ello consiga hacer que nos olvidemos de otros ensayos anteriores sobre los laberintos de este género, no sólo más completos sino más lúcidos, como W. Poundstone, Labyrinths of reason. Paradox, puzzles and the frailty of knowledge, New York/Harmondsworth, Anchor Books/Penguin Books, 1988, 1991.

 

            A la luz las consideraciones anteriores y de las opiniones que hemos reseñado, podemos hacernos una idea de las paradojas como la siguiente.

 

[a] Las paradojas se componen de una anomalía discursiva, presunta o efectiva, y de una disonancia cognitiva -i.e. un factor “desafío” o un factor “sorpresa”-.

 

[b] La anomalía consiste en que una argumentación aceptable -en  principio- da lugar a un conjunto de proposiciones o a una proposición inaceptable -en principio-. La disonancia, a su vez, mueve a restablecer la estabilidad amenazada o la normalidad perdida.

 

[c] De acuerdo con la composición declarada en [a], las paradojas incluyen una referencia pragmática -e.g. a unas determinadas expectativas o creencias-, además de su contenido temático -el asunto sobre el que versan- y de su disposición discursiva o argumentativa.

 

[d] La disposición discursiva o argumentativa cobra especial si se tiene en cuenta en que sólo a través de ella puede diagnosticarse y tratarse una paradoja -determinar, por ejemplo, si nos encontramos ante una paradoja genuina o si estamos más bien ante un acertijo, o un enigma, o un paralogismo, o un sofisma-. En otras palabras, si teme vérselas con una paradoja o un contrasentido, acuda al lógico antes que al psicoanalista o al especialista en traumas cognitivos.

 

[e] La disposición argumentativa también puede propiciar una estrategia de resolución o de disolución de la anomalía en cuestión, en la medida en que para desmontar o reducir su carácter paradójico baste mostrar que, contra nuestras presunciones iniciales,

(1)   la conclusión es aceptable, o

(2)   alguna de las premisas -supuesto o condición en juego- es inaceptable, o

(3)   la conclusión no se sigue de las premisas.

 

Veamos  alguna muestra de cada una de estas posibilidades -aunque el procedimiento no siempre tenga el mismo éxito y haya alguna paradoja especialmente recalcitrante.

 

(1)  La paradoja se resuelve al poner de manifiesto un contexto discursivo en el que la conclusión en cuestión es aceptable.

 

            Recordemos, por ejemplo, la noción común o “axioma” de los Elementos de Euclides a tenor del cual un todo es mayor que una de sus partes propias. Según esto, el hallazgo de un conjunto parcial con el mismo número de miembros que el conjunto total del que forma parte resulta paradójico. Pues bien, consideremos el conjunto de los números naturales N (N = 1, 2, 3 ..., n, ...) y el conjunto de los cuadrados positivos de estos números naturales C (C = 1, 4, 9 ..., n2, ...). Todos estos cuadrados son a su vez números naturales; pero, entre los números naturales, también los hay que no son cuadrados de números naturales (e.g.: 3, 5, ...). Así que C es un subconjunto propio de N: todo miembro de C es miembro de N, y N tiene además otros miembros que no son miembros de C. Ahora bien, los miembros de N y C pueden emparejarse mediante correspondencia biunívoca, de modo que a cada natural le corresponda un cuadrado y a cada cuadrado le corresponda un natural: cada número natural o entero positivo cuenta con un único cuadrado asociado a él y cada cuadrado cuenta con un natural (su raíz cuadrada positiva) parejamente asociado. Luego, N y C son conjuntos extensionalmente iguales: tienen el mismo número de miembros.

                Esta conclusión ha resultado tan aceptable que ha venido a inspirar precisamente un socorrido criterio de infinitud: un conjunto es infinito si es igual a un subconjunto propio -igual en el sentido determinado por la correspondencia biunívoca entre los miembros de ambos conjuntos-.

 

(2) La paradoja se disuelve al mostrar que una o más premisas o alguno de sus supuestos son inaceptables, o que alguna de sus condiciones de efectividad es inviable.

 

            Un buen ejemplo de esto último es la paradoja del puente que relata Cervantes y que ya va siendo hora de declarar después de las alusiones anteriores. Dice así:

                «Señor, un caudaloso río dividía dos términos de un mismo señorío, y esté vuestra merced atento porque el caso es de importancia y algo dificultoso ... Digo, pues, que sobre este río estaba una puente y al cabo della una horca y una como casa de audiencia, en la cual de ordinario había cuatro jueces que juzgaban la ley que puso el dueño del río, de la puente y del señorío, que era en esta forma: “Si alguno pasare por esta puente de una parte a otra, ha de jurar primero adónde y a qué va; y si jurare verdad, déjenle pasar, y si dijere mentira, muera por ello ahogado en la horca que allí se muestra, sin remisión alguna”. Sabida esta ley y la rigurosa condición de ella, pasaban muchos, y luego en lo que juraban se echaba de ver que decían verdad y los jueces los dejaban pasar libremente. Sucedió, pues, que tomando juramento a un hombre juró y dijo que para el juramento que hacía, que iba a morir en aquella horca que allí estaba y no a otra cosa. Repararon los jueces en el juramento y dijeron: “Si a este hombre le dejamos pasar libremente, mintió en su juramento y conforme a la ley debe morir; y si le ahorcamos, él juró que iba a morir en aquella horca y, habiendo jurado verdad, por la misma ley debe ser libre”. Pídese a vuestra merced, señor gobernador, qué harán los jueces del tal hombre, que aún hasta agora están dudosos y suspensos y, habiendo tenido noticia del agudo y elevado entendimiento de vuestra merced, me enviaron a mí a que suplicase a vuestra merced de su parte diese su parecer en tan intricado y dudoso caso». [Don Quijote, Parte II (1615), c. LI. Cf. edición del Instituto Cervantes, Barcelona, Crítica, 1998; pp. 1045-6]

                Tampoco estará de más ver las salidas que se le ocurren a Sancho Panza a este respecto: la primera, tan simple como desesperada; la segunda, piadosa aunque poco útil para afrontar la naturaleza paradójica del problema. Pues el problema, si se aceptan sus términos, carece de solución. Pero puede disolverse o soltarse el nudo de la cuestión al poner de manifiesto que la formulación misma de esa ley permite una condición de acatamiento que hace inaplicable la propia ley. Por lo demás, la paradoja del puente no es sino el paradigma de otras muchas de la misma clase, como la del cocodrilo, o la del examen a aprobar o suspender, etc.

 

(3)  La paradoja se disuelve mostrando que la conclusión no se sigue de las premisas en cuestión, de modo que la anomalía solo es aparente y, en realidad, descansa en un error inferencial deliberado o inadvertido, es decir en un sofisma o en un paralogismo.

 

Un ejemplo tan habitual como instructivo es la siguiente “demostración” de que uno es igual a dos: 

(i)       Sea  x  = 1.

(ii)      Pero, obviamente, x  =  x.

(iii)     Y por ende x2  =  x2.

(iv)     Así pues,  por sustracción de  x2 en ambos lados,   x2 - x2  =  x2 - x2.

(v)     Y por factorización de ambos lados,  x (x - x)  =  (x  + x) (x - x).

(vi)     De donde, extrayendo el término común  (x - x),  resulta:  x  =  (x + x)

(vii)    O lo que es lo mismo:  x  =  2x.

(viii)    Luego, 1  =  2. QED.

 

El “secreto” de este tipo de “pruebas” reside en la indebida división por cero, por   x - x  en el presente caso, supuesta en el paso (vi). El paso (v) es correcto al decir que una vez cero es igual a dos veces cero: cualquier número de veces cero es igual a cero. Pero de ahí no se sigue el paso (vi) ni, en definitiva, la pretensión de que uno sea igual a dos. Puesto en evidencia el error, la presunta paradoja se desvanece.

 

 

 

§ 5. Invitaciones

 

Una vez presentadas las paradojas -al menos, algunos miembros de esta numerosa y variopinta familia-, me gustaría invitarles a entablar relaciones y tratar con ellas. Desde luego, no siempre podrán pasar de largo como si no existieran y evitarlas; en especial, si frecuentan determinados dominios como el de infinito matemático o el de la reflexividad o la auto-referencia lingüística. Pero en algún momento también se toparán con alguna de ellas en cualquier otro sitio: las paradojas son naturales de cualquier lugar del discurso.

 

La invitación puede cubrir, por lo demás, tan diversas formas de relación y trato con las paradojas que, en realidad, es una serie de invitaciones.

 

La primera y más simple es la invitación a salir al campo del discurso y hacer excursiones de naturalista en busca de especímenes para la colección. Hay colecciones hechas y recurrir a ellas -e.g. a través de Google en la red de Internet- tiene las ventajas del hurto consentido sobre el trabajo honrado. Pero tampoco se debe renunciar a la alegría de los descubrimientos, ni hay que desesperar de encontrarse un buen día con una paradoja inédita a la que darle un nombre para la posteridad. Suerte.

Otra opción es poner a prueba algunas de las nociones o clasificaciones que hemos apuntado. O, simplemente, jugar con ellas. Por ejemplo, en una escala de puntuación de 1 a 10 -desde el nivel de “paradojicidad” más trivial y simple hasta el nivel más significativo o sofisticado-, cómo valorarían y dónde situarían las muestras siguientes (α)- (ι). Y, por otro lado, ¿considera que alguna no responde en realidad al concepto de paradoja?

 

(α) Robert M. Martin, profesor canadiense de Filosofía en la Dalhousie University, ha publicado un libro dedicado a puzzles, paradojas y problemas filosóficos: There are two errors in the the title of this book, Ontario, Broadview Press, 1992. ¿Hay, en efecto, dos errores en el título del libro?

 

(β) La afirmación “La presente frase consta de ocho palabras” es falsa puesto que solo tiene siete palabras. Así pues, la negación directa correspondiente (“La presente frase no consta de ocho palabras”) será verdadera. ¿Es así? ¿No? Entonces, ¿qué pasa?

 

(γ) El pagano Eudoxio y el cristiano Teodosio conversan caminando por la plaza de Agrigento.

“- Según la fábula “Heracles y el carretero” de Babrio, los dioses ayudan a quienes se ayudan a sí mismos. ¿No crees, Teodosio, que la fábula tiene razón?.

- Lo que me parece, amigo Eudoxio, es que esos dioses favorecen a los egoístas y no son providentes ni caritativos como mi Dios cristiano: Él ayuda más bien a todos los que no se ayudan a sí mismos; ya sabes, incluidos los pájaros o los lirios del campo.

- ¿Quieres decir que tu Dios ayuda a todos los que, y sólo a los que, no se ayudan a sí mismos?

- Sí, Eudoxio.

- Entonces, Teodosio, tu Dios no existe”.

Una pista para entender a Eudoxio: también había oído hablar del barbero siciliano que menciona Sainsbury.

 

(δ) El profesor anuncia que pondrá un examen por sorpresa un día lectivo de la próxima semana, de modo que los alumnos no podrán saber en qué día es el examen hasta que se lo ponga ese día por la mañana. Un alumno aventajado razona: no podrá ser el viernes, porque ya lo habríamos sabido el jueves a mediodía y no sería una sorpresa: si no ha sido antes del jueves a mediodía, sólo quedará la mañana del viernes para el examen. Como no puede ser el viernes, tampoco podrá ser el jueves, pues entonces ocurriría lo mismo: ya podríamos saberlo el miércoles a mediodía. Ahora bien, el mismo razonamiento se aplica a los restantes días de la semana, luego ... “Profesor -se levanta el alumno-, perdone que le interrumpa. Lo siento, pero no podrá ponernos un examen por sorpresa ningún día de la próxima semana”.

El caso es que el lunes mismo el profesor puso un examen que cogió a los alumnos por sorpresa.

 

(ε) Otra de exámenes. En el curso de un examen oral, el profesor informa al alumno de que va mal y sólo le queda una pregunta para salvarse. Eso sí, la respuesta que dé será definitiva, de modo que procurará hacerle una pregunta que no tenga que ver con los temas que no domina.

“-¿Estas de acuerdo en jugarte el aprobado o el suspenso a esta sola carta?

- Sí, bueno, vale.

- Pues entonces pon atención. Esta es la pregunta: ¿aprobarás este examen?

- Oiga, ¿cómo voy a saberlo?

- Esa no es la cuestión. La pregunta es, repito: ¿aprobarás este examen?  Si respondes bien, con la verdad, aprobarás; y si contestas mal, en falso, suspenderás. ¡Así es de simple la cosa!”

El alumno se quedó unos momentos confuso. Pero, buen lector del Quijote, tuvo de repente una inspiración y respondió: “-Mire, profesor. No le demos más vueltas: Ud. va a suspenderme”.

 

(ζ) Ahora recordemos al Sócrates y al Platón que con tanto desparpajo solían tratar los medievales.

Esto es lo que dice Sócrates: “Lo que dice Platón es falso”.

Y esto es lo que dice Platón: “Lo que dice Sócrates es verdadero”.

                ¿En qué quedamos?

 

(η) Considere el enunciado: “El presente enunciado no tiene sentido o es falso”. ¿Es cierto lo que dice? ¿Pasa con él lo mismo que con el enunciado: “El presente enunciado tiene sentido y es verdadero”?

 

(θ) Todos los años, el 27 de febrero, A prepara a su pareja B una cena especial de cumpleaños, con los platos más insólitos que cabe imaginar y con los ingredientes más exóticos que pueden encontrarse en el mercado, así que cada 27 de febrero B espera la cena con la ansiedad y emoción de un gran regalo sorpresa. Pero este año, A se ha despistado y, al llegar las 9 de la noche, se da cuenta con horror de que no hay otra cosa que restos del potaje de verduras del día anterior. ¡Qué le vamos a hacer! Luego, en la mesa, B se queda de piedra al verse ante el potaje de ayer y no puede por menos que protestar: “No me esperaba esto de cena, la verdad”. “Ah, ¿no? ¡Así que te he sorprendido una vez más!”.   

 

(ι) Tristram Shandy es un personaje famoso por el relato menudo de su vida y de sus opiniones, según la novela de Laurence Sterne (1860-1867, The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman). Por lo que sabemos, a Shandy le había llevado dos años escribir sus dos primeros días de vida y se lamentaba de que, a este ritmo, se le acumularía el material a contar de manera que nunca llegaría a dar fin a su biografía. Bertrand Russell, conocedor del asunto, comentó que Shandy, viviendo eternamente y sin desmayar en su tarea aunque su vida hubiera continuado tan animada como al principio, no dejaría sin escribir ninguna parte de su biografía. ¿Es esto posible?

Bueno, como esta es la última muestra, valga por dos. Siendo efectivamente posible lo que sostiene Russell, ¿de ahí se seguiría que, algún día, Tristram Shandy podría cruzarse de brazos y descansar tras haber acabado el manuscrito y haber dado fin a la última página?

 

 

 

            Dos invitaciones para terminar. Una: prueben a emplear la estrategia de resolución o de disolución, presentada al final del apartado anterior § 4, a los casos propuestos (α)-(ι) y analicen los resultados. Dos: no dejen de examinar además otras muestras, ya estén tomadas de los repertorios disponibles o ya sean fruto de su propio ingenio.

            Y, en fin, sean cuales fueren las paradojas consideradas, que las disfruten.

 

 

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© Luis Vega Reñón, 2004

LINDARAJA. Revista de estudios interdisciplinares y transdisciplinares.

Número 1, junio de 2004

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